Пришельцы поймали 10 землян. Они уверены, что пленники очень вкусные, но беда в том, что поедать разумных существ им запрещено. К сожалению, инопланетяне не очень‑то верят в интеллектуальные способности невольников, поэтому придумали для них испытание.
Воспользовавшись переводчиком, пришельцы сообщили землянам следующее: «Вас всех построят в один ряд лицом вперёд по росту. Вы сможете видеть всех, кто стоит перед вами. Оглядываться назад или выходить из строя нельзя.
Каждому из вас наденут на голову колпак чёрного или белого цвета в произвольном порядке. Вам не скажут, сколько колпаков какого цвета. Когда подадут сигнал, вы должны будете угадать цвет вашего колпака. Начнут с замыкающего строй и продолжат до впереди стоящего.
Нельзя произносить других слов, кроме „чёрный“ и „белый“, а также подавать какие‑либо подсказки интонацией, иначе вас тут же съедят. Если хотя бы девять из вас правильно отгадают цвет колпака, всех пощадят. У вас пять минут на то, чтобы обсудить план, а затем вас построят, наденут колпаки, и мы начнём».
Как действовать землянам, чтобы спастись?
Замыкающий строй видит все колпаки, но может сказать только «чёрный» или «белый», одновременно сообщив всем скрытую информацию. Пленникам неизвестно общее число чёрных и белых колпаков, возможных вариантов больше двух. Зато они ограничены всего двумя версиями, когда речь идёт о понятии чётности: число может быть либо чётным, либо нечётным.
Ключ к решению задачи таков: пленники договариваются, что первый отвечающий скажет, к примеру, «чёрный», если будет видеть нечётное число чёрных колпаков впереди, и «белый», если увидит чётное число чёрных колпаков.
Разберём пример с картинки выше. Самый высокий пленник № 1 видит впереди три чёрных колпака. Он говорит вслух «чёрный». Это даёт всем остальным информацию о том, что впереди нечётное число чёрных колпаков. Первый пленник ошибся с цветом своего колпака, но это не страшно: один раз разрешается ответить неверно.
Пленница № 2 видит перед собой нечётное число чёрных колпаков. Она понимает, что на ней белый, и отвечает верно. Пленник № 3 видит чётное число чёрных колпаков и догадывается, что на нём чёрный колпак, который видели два первых пленника.
Пленница № 4 слышит ответ и понимает, что ей стоит искать чётное число чёрных колпаков, ведь за спиной был чёрный, но она видит впереди только один и делает вывод, что и её колпак чёрного цвета. Пленники № 5–9 ищут нечётное количество чёрных колпаков, что они как раз и видят, при этом понимая, что на них колпаки белые. Очередь доходит до десятого пленного. Если пленник № 9 видел нечётное число чёрных колпаков, это означает лишь одно — на пленнике № 10 чёрный колпак.
Вот как этот алгоритм будет работать для любого набора колпаков. Для первого участника вероятность неправильного ответа — 50%, но информация о чётности‑нечётности, которую он сообщит, позволит остальным пленникам угадать цвет их колпака.
Каждый отвечающий начнёт оценивать число чётных и нечётных колпаков впереди. Если подсчитанное в уме число не совпадёт с тем, что он видит, то его колпак того же цвета. Каждый раз в таком случае следующий отвечающий учитывает, что чётность‑нечётность оставшихся колпаков теперь изменилась.
Эта загадка — перевод видео TED‑Ed.
