Любопытный турист обнаружил тайник Леонардо да Винчи. Пробраться в него непросто: путь преграждает огромная дверь. Попасть внутрь сможет только тот, кто знает нужную комбинацию цифр от кодового замка. У туриста есть свиток с подсказками, из которого он узнал две первые комбинации: 1210 и 3211000. А вот третью никак не разобрать. Придётся расшифровать её самостоятельно!
Общим для первой и второй комбинации является то, что оба этих числа автобиографические. Это значит, что в них заложено описание собственной структуры. Каждая цифра автобиографического числа указывает на то, сколько раз в числе встречается цифра, соответствующая порядковому номеру самой цифры. Первая цифра определяет количество нулей, вторая — указывает на количество единиц, третья — двоек и так далее.
Третья комбинация состоит из последовательности 10 цифр. Она представляет собой единственно возможное 10‑разрядное автобиографическое число. Что это за число? Помогите туристу определить!
Если наугад подбирать комбинации цифр, на разгадку уйдёт много времени. Лучше проанализировать имеющиеся у нас числа и выявить закономерность.
Суммируя цифры первого числа — 1210, получаем 4 (количество цифр в данной комбинации). Суммируя цифры второго числа — 3211000, получаем 7 (результат также равен количеству цифр в данной комбинации). Каждая цифра указывает на то, сколько раз она встречается в данном числе. Поэтому сумма цифр в 10‑разрядном автобиографическом числе должна быть равна 10.
Отсюда следует, что в третьей комбинации не может быть много больших цифр. Например, если бы там присутствовали 6 и 7, это означало бы, что какая‑то цифра должна повториться шесть раз, а какая‑то семь, в результате чего разрядов было бы больше 10.
Таким образом, во всей последовательности не может быть более одной цифры больше 5. То есть из четырёх цифр — 6, 7, 8 и 9 — только одна может войти в состав искомой комбинации. Или вовсе ни одной. А на месте незадействованных цифр будут стоять нули. Получается, что в искомом числе содержится минимум три нуля и что на первом месте стоит цифра, которая больше или равна 3.
Первая цифра в искомой последовательности определяет количество нулей, а каждая дальнейшая — количество ненулевых цифр. Если сложить все цифры, кроме первой, получится число, определяющее количество ненулевых цифр в искомой комбинации, с учётом самой первой цифры в последовательности.
Например, если мы сложим цифры в первой комбинации, то получим 2 + 1 = 3. Теперь отнимем 1 и получим число, определяющее количество ненулевых цифр, стоящих после первой, лидирующей цифры. В нашем случае это 2.
Эти вычисления дают важную информацию о том, что количество ненулевых цифр, стоящих после первой цифры, равно сумме этих цифр минус 1. Как вычислить значения цифр, сумма которых на 1 больше, чем количество суммируемых ненулевых положительных целых чисел?
Единственно возможный вариант — это когда одним из слагаемых является двойка, а другие — единицы. Сколько единиц? Оказывается, их может быть только две — в противном случае в последовательности присутствовали бы цифры 3 и 4.
Теперь мы знаем, что первой цифрой должна стоять цифра 3 или выше — она определяет количество нулей; далее цифра 2 для определения количества единиц и две 1, одна из которых указывает на количество двоек, другая — на первую цифру.
Теперь определим значение первой цифры в искомой последовательности. Поскольку мы знаем, что сумма 2 и двух 1 равна 4, вычтем это значение из 10 и получим 6. Теперь остаётся лишь расположить все цифры в правильной последовательности: шесть 0, две 1, одна 2, ноль 3, ноль 4, ноль 5, одна 6, ноль 7, ноль 8 и ноль 9. Искомое число — 6210001000.
Тайник открывается, и турист обнаруживает внутри давно утерянную автобиографию Леонардо да Винчи. Ура!
Загадка составлена на основе видео TED‑Ed.
Как вам задачка? Слышали про автобиографические числа раньше? Рассказывайте в комментариях!
