Леонардо Фибоначчи был выдающимся средневековым математиком. Считается, что именно он ввёл в обиход арабские цифры. В «Книге абака» — труде, излагающем и пропагандирующем десятичную арифметику, — Фибоначчи приводит свою знаменитую задачу о кроликах. Попробуйте её решить.
В начале января пару новорождённых кроликов (самца и самку) поместили в загончик, огороженный со всех сторон. Сколько пар кроликов они произведут к началу следующего года? Необходимо учесть такие условия:
- Кролики достигают половой зрелости через два месяца после своего рождения, то есть к началу третьего месяца жизни.
- В начале каждого месяца каждая половозрелая пара даёт жизнь только одной паре.
- Животные всегда рождаются парами «одна самка + один самец».
- Кролики бессмертны, их не могут съесть хищники.
Давайте посмотрим, как растёт количество кроликов в первые полгода:
Месяц 1. Одна пара молодых кроликов.
Месяц 2. По‑прежнему одна исходная пара. Кролики ещё не достигли детородного возраста.
Месяц 3. Две пары: исходная, достигшая детородного возраста + пара молодых кроликов, которых она породила.
Месяц 4. Три пары: одна исходная пара + одна пара кроликов, которую она породила в начале месяца + одна пара кроликов, которые появились на свет в третьем месяце, но ещё не достигли половой зрелости.
Месяц 5. Пять пар: одна исходная пара + одна пара, родившаяся в третьем месяце и достигшая детородного возраста + две новые пары, которым они дали жизнь + одна пара, которая появилась на свет в четвёртом месяце, но пока не достигла зрелости.
Месяц 6. Восемь пар: пять пар, живших в прошлом месяце + три новорождённые пары. И так далее.
Чтобы было понятнее, запишем полученные данные в таблицу:
Если внимательно рассмотреть таблицу, можно выявить следующую закономерность. Каждый раз количество кроликов, имеющихся в n‑м месяце, равно числу кроликов в (n − 1)-м, предыдущем месяце, суммированному с числом только что родившихся кроликов. Их количество, в свою очередь, равно общему числу животных по состоянию на (n − 2)-й месяц (который был два месяца назад). Отсюда можно вывести формулу:
Fn = Fn‑1+ Fn‑2,
где Fn — общее количество пар кроликов в n‑й месяц, Fn‑1 — общее количество пар кроликов в предыдущий месяц, а Fn‑2 — общее количество пар кроликов два месяца назад.
Подсчитаем по ней количество животных в последующие месяцы:
Месяц 7. 8 + 5 = 13.
Месяц 8. 13 + 8 = 21.
Месяц 9. 21 + 13 = 34.
Месяц 10. 34 +21 = 55.
Месяц 11. 55 + 34 = 89.
Месяц 12. 89 + 55 = 144.
Месяц 13 (начало следующего года). 144 + 89 = 233.
В начале 13‑го месяца, то есть в конце года, у нас будет 233 пары кроликов. Из них 144 пары будут взрослыми, а 89 — молодыми. Полученная последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 называется числами Фибоначчи. В ней каждое новое итоговое число равно сумме двух предыдущих.
